Найбільші математичні загадки тисячоліття

87

Завдання тисячоліття складають шість математичних завдань, охарактеризованих як «важливі класичні задачі, рішення яких не знайдено ось вже протягом багатьох років». За рішення кожної з цих завдань інститутом Клея запропоновано винагороду в 1 000 000 доларів США. Анонсуючи нагороду, інститут Клея провів паралель зі списком проблем Гільберта(список з 23 кардинальних проблем математики, представлений Давидом Гильбертом на II Міжнародному Конгресі математиків в Парижі в 1900 році).

Станом на 2017 рік тільки одна з семи завдань тисячоліття (гіпотеза Пуанкаре) вирішена (Филдсовская премія за її рішення була присуджена Григорію Перельману, який відмовився прийняти її).

1. Рівність класів P і NP

Всі ми пам’ятаємо зі школи квадратні рівняння, які вирішуються через дискриминант. Рішення цієї задачі належить до класу P (Поліноміальні time) — для неї існує швидкий (тут і далі під словом «швидкий» мається на увазі як виконується за полиномиальное час) алгоритм розв’язання, який і заучивается.

Також існують NP-завдання (Non-deterministic Поліноміальні time), знайдене рішення яких можна швидко перевірити за певним алгоритмом. Для прикладу перевірка методом перебору комп’ютером. Якщо повернутися до вирішення квадратного рівняння, то ми побачимо, що в даному прикладі існуючий алгоритм рішення перевіряється так само легко і швидко, як і вирішується. З цього напрошується логічний висновок, що дана задача відноситься як до одного класу так і до другого.

Таких завдань багато, але основним питанням є, чи не всі завдання, які можна легко та швидко перевірити можна також легко і швидко вирішити? Зараз для деяких завдань не знайдено швидкого алгоритму рішення, і невідомо чи існує такий взагалі.

Припустимо, що ви, перебуваючи у великій компанії, хочете, щоб переконатися, що там же знаходиться ваш знайомий. Якщо вам скажуть, що він сидить у кутку, то достатньо буде частки секунди, щоб, кинувши погляд, переконатися в істинності інформації. У відсутність цієї інформації ви будете змушені обійти всю кімнату, розглядаючи гостей.

В даному випадку питання стоїть все той же, чи є такий алгоритм дій, завдяки якому навіть не маючи інформації про те, де знаходиться людина, знайти його так само швидко, як ніби знаючи де він знаходиться.

Дана проблема має велике значення для самих різних галузей знань, але вирішити її не можуть вже більше 40 років.

2. Гіпотеза Ходжа

У ХХ столітті математики відкрили потужний метод дослідження форми складних об’єктів. Основна ідея полягає в тому, щоб використовувати замість самого об’єкта прості «цеглинки», які склеюються між собою і утворюють його подобу. Гіпотеза Ходжа пов’язана з деякими припущеннями щодо властивостей таких «цеглинок» і об’єктів.

3. Гіпотеза Рімана

Деякі цілі числа не можуть бути виражені як добуток двох менших цілих чисел, наприклад, 2, 3, 5, 7 і так далі. Такі числа називаються простими і грають важливу роль в чистій математиці і її додатках. Розподіл простих чисел серед усіх натуральних чисел не підпорядковується ніякої закономірності. Проте німецький математик Рімана висловив припущення, що стосується властивостей послідовності простих чисел. Якщо гіпотеза Рімана буде доведена, то це призведе до революційної зміни наших знань в області шифрування і до небаченого прориву в області безпеки Інтернету.

4. Теорія Янга — Міллса

Рівняння квантової фізики описують світ елементарних частинок. Фізики Янг і Міллс, виявивши зв’язок між геометрією і фізикою елементарних частинок, написали свої рівняння. Тим самим вони знайшли шлях до об’єднання теорій електромагнітного, слабкого і сильного взаємодій. З рівнянь Янга — Міллса випливало існування частинок, які дійсно спостерігалися в лабораторіях по всьому світу, тому теорія Янга — Міллса прийнята більшістю фізиків незважаючи на те, що в рамках цієї теорії досі не вдається передбачати маси елементарних частинок.

5. Існування і гладкість рішень рівнянь Нав’є — Стокса

Якщо плисти в човні по озеру, то виникнуть хвилі, а якщо летіти в літаку, в повітрі виникнуть турбулентні потоки. Передбачається, що ці та інші явища описуються рівняннями, відомими як рівняння Нав’є — Стокса. Рішення цих рівнянь невідомі, і при цьому навіть невідомо, як їх вирішувати. Необхідно показати, що розв’язок існує і є досить гладкою функцією. Вирішення цієї проблеми дозволить суттєво змінити способи проведення гідро – і аеродинамічних розрахунків.

6. Гіпотеза Берча — Свиннертон-Дайєра

Для рівняння x2 + y2 = z2 у свій час ще Евклід дав повний опис рішень, але для більш складних рівнянь пошук рішень стає надзвичайно важким, досить згадати історію докази знаменитої теореми Ферма, щоб переконатися в цьому.

Дана гіпотеза пов’язана з описом алгебраїчних рівнянь 3 ступеня — так званих еліптичних кривих і по суті є єдиним відносно простим загальним способом обчислення рангу, одного з найважливіших властивостей еліптичних кривих.

У доказі теореми Ферма еліптичні криві зайняли одне з найважливіших місць. А в криптографії вони утворюють цілий розділ імені себе, і на них засновані деякі російські стандарти цифрового підпису.

Мітки:математика, наука